我无涯助你彻底解决幂级数收敛域的问题

根据图1，首先判断级数是否缺项，那么所谓的缺项是什么意思呢？

其实就是看变量的幂是否是公差为1的等差数列。以例1来说，变量为x，当n逐渐增大时，一般项中变量x的幂的变化趋势为1，2，3，……。简单说来，就是级数一般项变量部分若符合如下形式（1），则该幂级数就是无缺项幂级数，否则为缺项幂级数：

显然，级数①是无缺项幂级数。

对于无缺项幂级数，根据相关定理先求收敛半径，具体过程如下：

根据定理，可知，级数的收敛半径为1。

收敛半径确定后，收敛区间即为(-1, 1)。

接下来考虑级数在收敛区间端点x=-1和x=1的敛散性。

不难验证，x=-1为级数的收敛点，x=1为级数的发散点，因此级数①的收敛域为[-1,1)。

在判断端点是否是收敛点时，需要用到常数项级数收敛定理和一般性质，不熟悉这块的同学要好好回顾常数项级数敛散性判断。

在级数①的基础上，稍加改变，就变成一个比较复杂的级数，如下所示：

首先判断级数②是否是缺项级数。根据小编前面所述，级数②是无缺项级数，因为级数②一般项变量部分满足形式(1)。

对级数②求收敛半径时，应把形式（1）中的φ(x)整体当作一个变量。对应于级数②，就是把x+1当作一个变量。

级数①和级数②的唯一区别是φ(x)不同。级数①φ(x)=x，收敛域为[-1,1)；级数②φ(x)=x+1，收敛域应是：-1<=x+1<1，即-2<=x<0。

总结一点，就是在求幂级数收敛域时，不要呆板地认为就x一个变量，而应该把形式（1）中的φ(x)当作一个整体的变量。

例2：缺项幂级数

对于级数①进行些许改变，所得的新级数如下所示：

相信大部分人都认为这是个缺项级数。

认为级数③是缺项幂级数的，是把x当作形式（1）中的φ(x)了，此时φ(x)的幂不再是n，二是2n。这样看的话，级数③只有偶次幂，没有奇次幂，此时级数③是缺项级数。

对于缺项幂级数，采用比值审敛法求收敛区间。具体过程如下：

小编前面说过，对于级数③，大部分人都认为是缺项幂级数。其实级数③也可以视为无缺项幂级数，只需要进行如下操作,此时形式（1）中的φ(x)等于x2。然后按照无缺项幂级数求收敛域的步骤进行下去即可。

对于看完本文的同学，小编建议，把涉及到的三个幂级数放在一起，然后按照小编的思路多思考，相信幂级数的收敛域将不再成为你的困扰！返回搜狐，查看更多